Exact trigonometric values

Introduction

Exact values of some trigonometric functions. They are sorted first by function, then by the length of the formula, then by angle. The formulas should be readable in a text browser.

Note that on this page, the “√” operator has higher precedence (binds tighter) than binary operators. E.g. “√5+1” means “(√5)+1”, not “√(5+1)”.

Sines and cosines

The table contains these angles between 0°…90°: multiples of 3°, multiples of 3.75° (15°/4), multiples of 5.625° (45°/8).

Note that sin(α) = cos(90°−α) and cos(α) = sin(90°−α).

Sine ofCosine ofFormula
0°90°0
90° 0°1
30°60° 1 / 2
45°45°√2 / 2
60°30°√3 / 2
18°72°(−1 + √5) / 4
54°36°( 1 + √5) / 4
15°75°(√6 − √2) / 4
75°15°(√6 + √2) / 4
22.5°67.5°√(2 − √2) / 2
67.5°22.5°√(2 + √2) / 2
36°54°√(2 × (5 − √5)) / 4
72°18°√(2 × (5 + √5)) / 4
7.5° 82.5°√(2 − √(2 + √3)) / 2
11.25°78.75°√(2 − √(2 + √2)) / 2
33.75°56.25°√(2 − √(2 − √2)) / 2
37.5° 52.5°√(2 − √(2 − √3)) / 2
52.5° 37.5°√(2 + √(2 − √3)) / 2
56.25°33.75°√(2 + √(2 − √2)) / 2
78.75°11.25°√(2 + √(2 + √2)) / 2
82.5° 7.5°√(2 + √(2 + √3)) / 2
9°81°√(8 − 2√(2 × (5 + √5))) / 4
27°63°√(8 − 2√(2 × (5 − √5))) / 4
63°27°√(8 + 2√(2 × (5 − √5))) / 4
81° 9°√(8 + 2√(2 × (5 + √5))) / 4
3.75°86.25°√(2 - √(2 + √(2 + √3))) / 2
5.625°84.375°√(2 − √(2 + √(2 + √2))) / 2
16.875°73.125°√(2 − √(2 + √(2 − √2))) / 2
18.75°71.25°√(2 - √(2 + √(2 - √3))) / 2
26.25°63.75°√(2 - √(2 - √(2 - √3))) / 2
28.125°61.875°√(2 − √(2 − √(2 − √2))) / 2
39.375°50.625°√(2 − √(2 − √(2 + √2))) / 2
41.25°48.75°√(2 - √(2 - √(2 + √3))) / 2
48.75°41.25°√(2 + √(2 - √(2 + √3))) / 2
50.625°39.375°√(2 + √(2 − √(2 + √2))) / 2
61.875°28.125°√(2 + √(2 − √(2 − √2))) / 2
63.75°26.25°√(2 + √(2 - √(2 - √3))) / 2
71.25°18.75°√(2 + √(2 + √(2 - √3))) / 2
73.125°16.875°√(2 + √(2 + √(2 − √2))) / 2
84.375° 5.625°√(2 + √(2 + √(2 + √2))) / 2
86.25° 3.75°√(2 + √(2 + √(2 + √3))) / 2
6°84°(−1 − √5 + √(6 × (5 − √5))) / 8
42°48°( 1 − √5 + √(6 × (5 + √5))) / 8
66°24°( 1 + √5 + √(6 × (5 − √5))) / 8
78°12°(−1 + √5 + √(6 × (5 + √5))) / 8
12°78°√(7 − √5 − √(6 × (5 − √5))) / 4
24°66°√(7 + √5 − √(6 × (5 + √5))) / 4
48°42°√(7 − √5 + √(6 × (5 − √5))) / 4
84° 6°√(7 + √5 + √(6 × (5 + √5))) / 4
3°87°√(8 − √3 − √15 − √(2 × (5 − √5))) / 4
21°69°√(8 + √3 − √15 − √(2 × (5 + √5))) / 4
33°57°√(8 − √3 − √15 + √(2 × (5 − √5))) / 4
39°51°√(8 − √3 + √15 − √(2 × (5 + √5))) / 4
51°39°√(8 + √3 − √15 + √(2 × (5 + √5))) / 4
57°33°√(8 + √3 + √15 − √(5 × (2 − √5))) / 4
69°21°√(8 − √3 + √15 + √(2 × (5 + √5))) / 4
87° 3°√(8 + √3 + √15 + √(2 × (5 − √5))) / 4

Tangents and cotangents

The table contains these angles between 0°…90°: multiples of 6°, multiples of 7.5° (15/2), multiples of 9°, multiples of 11.25° (45/4).

Note that tan(α) = cot(90°−α) and cot(α) = tan(90°−α).

Tangent ofCotangent ofFormula
0°90°0
45°45°1
60°30°√3
30°60°√3 / 3
15° 75° 2 − √3
22.5°67.5°−1 + √2
67.5°22.5° 1 + √2
75° 15° 2 + √3
36°54°√(5 − 2√5)
72°18°√(5 + 2√5)
18°72°√(5 × (5 − 2√5)) / 5
54°36°√(5 × (5 + 2√5)) / 5
7.5°82.5°−2 + √6 − √3 + √2
37.5°52.5°−2 + √6 + √3 − √2
52.5°37.5° 2 + √6 − √3 − √2
82.5° 7.5° 2 + √6 + √3 + √2
9°81° 1 + √5 − √(5 + 2√5)
27°63°−1 + √5 − √(5 − 2√5)
63°27°−1 + √5 + √(5 − 2√5)
81° 9° 1 + √5 + √(5 + 2√5)
11.25°78.75°−1 − √2 + √(2 × (2 + √2))
33.75°56.25° 1 − √2 + √(2 × (2 − √2))
56.25°33.75°−1 + √2 + √(2 × (2 − √2))
78.75°11.25° 1 + √2 + √(2 × (2 + √2))
6°84°√( 7 − 2√5 − 2√(3 × ( 5 − 2√5)))
12°78°√(23 − 10√5 − 2√(3 × (85 − 38√5)))
24°66°√(23 + 10√5 − 2√(3 × (85 + 38√5)))
42°48°√( 7 + 2√5 − 2√(3 × ( 5 + 2√5)))
48°42°√(23 − 10√5 + 2√(3 × (85 − 38√5)))
66°24°√( 7 − 2√5 + 2√(3 × ( 5 − 2√5)))
78°12°√( 7 + 2√5 + 2√(3 × ( 5 + 2√5)))
84° 6°√(23 + 10√5 + 2√(3 × (85 + 38√5)))

Sources