Tietoa kolmioista

Johdanto

Tällä sivulla esitellään erilaisia kolmiotyyppejä.

Kolmioihin on merkitty:

sivut pienillä latinalaisilla kirjaimilla a, b ja c
kulmat pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla α (alfa), β (beeta) ja γ (gamma).

Kulman α on oltava sivua a vastapäätä, kulman β sivua b vastapäätä ja kulman γ sivua c vastapäätä. Jos tätä sääntöä ei noudateta, osa kaavoista ei toimi.

Kolmion korkeus jostakin sivusta laskettuna on lyhin etäisyys siitä vastakkaiseen kärkeen. Esimerkiksi h_a on korkeusjana, joka on kohtisuorassa sivuun a nähden.

Kolmion ulkoympyrä eli ympäri piirretty ympyrä kulkee kaikkien kärkien kautta. Kolmion sisäympyrä eli sisään piirretty ympyrä kohtaa jokaisen sivun yhdessä pisteessä.

Tasakylkinen suorakulmainen kolmio

englanniksi isosceles right triangle
suorakulmaisen kolmion ja tasakylkisen kolmion helpompi erikoistapaus
kaksi yhtä pitkää sivua (tässä b) ja yksi pitempi (tässä a)
kaksi yhtä suurta kulmaa β = 45° ja yksi suora kulma
korkeusjana h_a jakaa kolmion kahteen kolmioon, jotka ovat samanmuotoiset kuin alkuperäinen kolmio, koska niissäkin yksi kulma on suora ja toinen β

Kaava	Kuvaus
`a` = √(2)`b`	sivujen pituudet
`R` = `h`_a = `a` / 2 = √(2)`b` / 2	ulkoympyrän säde, korkeus ja sivujen pituudet
`A` = `ah`_a / 2 = `a`² / 4 = `b`² / 2	pinta-ala
`r` = (√(2) − 1) / 2 × `a` = (1 − √(2) / 2) × `b`	sisäympyrän säde

Suorakulmainen kolmio

englanniksi right triangle
yksi kulma on 90°
pisin sivu (tässä c) on hypotenuusa ja muut sivut ovat kateetit
englanninkielinen muistisääntö trigonometrisille funktioille: SOHCAHTOA:
- Sine = Opposite / Hypotenuse (sini = vastakkainen kateetti jaettuna hypotenuusalla)
- Cosine = Adjacent / Hypotenuse (kosini = viereinen kateetti jaettuna hypotenuusalla)
- Tangent = Opposite / Adjacent (tangentti = vastakkainen kateetti jaettuna viereisellä kateetilla)
korkeusjana h_c jakaa kolmion kahteen kolmioon, jotka ovat samanmuotoiset kuin alkuperäinen kolmio, koska niissäkin yksi kulma on suora ja toinen joko α tai β
Wikipedia – suorakulmainen kolmio

Kaava	Kuvaus
`a`² + `b`² = `c`²	sivujen pituudet (Pythagoraan lause)
`α` + `β` = 90°	kulmat
sin(`α`) = cos(`β`) = `a` / `c`; sin(`β`) = cos(`α`) = `b` / `c`; tan(`α`) = `a` / `b`; tan(`β`) = `b` / `a`	kulma ja kahden sivun pituus
`h`_c = `ab` / `c`	korkeus ja sivujen pituudet
`A` = `ab` / 2	pinta-ala ja kateettien pituudet
`A` = `ch`_c / 2	pinta-ala, hypotenuusa ja sitä vastaava korkeus
`R` = `c` / 2	ulkoympyrän säde ja hypotenuusan pituus
`r` = (`a` + `b` − `c`) / 2	sisäympyrän säde ja sivujen pituudet

Erikoistapauksia

jos α = 30°: c = 2a
jos α = 45°: katso tasakylkinen suorakulmainen kolmio
jos α = 60°: c = 2b

Tasasivuinen kolmio

englanniksi equilateral triangle
tasakylkisen kolmion helpompi erikoistapaus
kaikki sivut yhtä pitkiä
jokainen kulma 60°
kaikki korkeudet yhtä suuria
Wikipedia – tasasivuinen kolmio

Kaava	Kuvaus
`h` = √(3)`a` / 2	korkeus ja sivun pituus
`A` = `ah` / 2	pinta-ala, sivun pituus ja korkeus
`A` = √(3)`a`² / 4	pinta-ala ja sivun pituus
`R` = 2`h` / 3	ulkoympyrän säde ja korkeus
`R` = √(3)`a` / 3	ulkoympyrän säde ja sivun pituus
`R` = √(√(3)`A`) × 2 / 3	ulkoympyrän säde ja kolmion pinta-ala
`r` = `R` / 2	sisä- ja ulkoympyrän säde

Tasakylkinen kolmio

englanniksi isosceles triangle
kaksi yhtä pitkää sivua eli kyljet (tässä b); viimeinen sivu on kanta (tässä a)
kaksi yhtä suurta kantakulmaa (tässä β); viimeinen kulma on huippukulma (tässä α)
teräväkulmaisessa tasakylkisessä kolmiossa (ensimmäinen kuva) α < 90° ja tylppäkulmaisessa (toinen kuva) α > 90°
Wikipedia – tasakylkinen kolmio

Kaavoihin, joissa on plus-miinus-merkki (±), on kaksi ratkaisua joillakin syötteillä.

Kaava	Kuvaus
`α` + 2`β` = 180°	kulmat
`h`_a = √(`b`² − `a`² / 4); `h`_b = √(`b`² − `a`² / 4) × `a` / `b`	korkeus sivujen pituuksista
`h`_a = 1 / √(1 / `h`_b² − 1 / `a`²) / 2; `h`_a = `b` × √((1 ± √(1 − `h`_b² / `b`²)) / 2); `h`_b = 1 / √(1 / `a`² + 1 / `h`_a² / 4); `h`_b = 2`h`_a / `b` × √(`b`² − `h`_a²)	korkeus toisesta korkeudesta ja sivun pituudesta
`a` = 1 / √(1 / `h`_b² − 1 / `h`_a² / 4); `b` = `h`_a / `h`_b / √(1 / `h`_b² − 1 / `h`_a² / 4)	sivun pituus korkeuksista
`a` = 2√(`b`² − `h`_a²); `a` = `b` × √(2 ± 2√(1 − `h`_b² / `b`²)); `b` = √(`a`² / 4 + `h`_a²); `b` = `a` / √(1 − `h`_b² / `a`²) / 2	sivun pituus toisesta sivusta ja korkeudesta
sin(`α`) = `h`_b / `b`; cos(`α` / 2) = `h`_a / `b`; tan(`α` / 2) = `a` / (2`h`_a); sin(`β`) = `h`_a / `b` = `h`_b / `a`; tan(`β`) = 2`h`_a / `a`	kulma, korkeus ja sivun pituus; huomaa että sin(`α`) = sin(180°−`α`)
sin(`α` / 2) = `a` / `b` / 2 = `h`_b / `h`_a / 2	huippukulma ja sivujen pituudet tai korkeudet
`A` = `ah`_a / 2 = `bh`_b / 2; `A` = `a` × √(`b`² − `a`² / 4) / 2	pinta-ala
`R` = `b`² / `h`_a / 2; `R` = `b`² / √(4`b`² − `a`²); `R` = `a` / sin(`α`) / 2 = `b` / sin(`β`) / 2	ulkoympyrän säde
`r` = √((2`b` − `a`) / (2`b` + `a`)) × `a` / 2; `r` = `h`_a / (`b` / √(`b`² − `h`_a²) + 1); `r` = `h`_a / (√(4`h`_a² + `a`²) / `a` + 1); `r` = `h`_b / (2 + √(2 ± 2√(1 − `h`_b² / `b`²))); `r` = `h`_b / (√(1 − `h`_b² / `a`²) + 1) / 2	sisäympyrän säde
`r` / `R` = `a` / `b` − (`a` / `b`)² / 2; `a` / `b` = 1 ± √(1 − 2`r` / `R`)	sisä- ja ulkoympyrän säteiden suhde

Erikoistapauksia

jos α = 30°: b = 2h_b; R = a
jos α = 36°: b / a = φ (fii, kultainen leikkaus)
jos α = 60°: katso tasasivuinen kolmio
jos α = 90°: katso tasakylkinen suorakulmainen kolmio
jos α = 108°: a / b = φ (ks. yllä)
jos α = 120°: b = 2h_a; R = b

Yleinen kolmio

englanniksi scalene triangle
teräväkulmaisessa (ensimmäinen kuva) kaikki kulmat ovat alle 90° ja tylppäkulmaisessa (toinen kuva) yksi kulma on yli 90°
kaikki sivut voivat olla eri pituisia
kaikki kulmat voivat olla eri suuria
Wikipedia – kolmio
Wikipedia – kosinilause
Wikipedia – sinilause

Kaava	Kuvaus
`α` + `β` + `γ` = 180°	kulmat
sin(`α`) = `h`_b / `c` = `h`_c / `b`; sin(`β`) = `h`_a / `c` = `h`_c / `a`; sin(`γ`) = `h`_a / `b` = `h`_b / `a`	yhden sivun pituus, toisen vastainen kulma ja kolmatta vastaava korkeus
`a`² = `b`² + `c`² − cos(`α`) × 2`bc`; `b`² = `a`² + `c`² − cos(`β`) × 2`ac`; `c`² = `a`² + `b`² − cos(`γ`) × 2`ab`	sivu vastakkaisesta kulmasta ja muiden sivujen pituuksista (kosinilause)
cos(`α`) = (`b`² + `c`² − `a`²) / (2`bc`); cos(`β`) = (`a`² + `c`² − `b`²) / (2`ac`); cos(`γ`) = (`a`² + `b`² − `c`²) / (2`ab`)	kulma sivujen pituuksista (kosinilause toisella tavalla)
cos(`α`) = (1 / `h`_b² + 1 / `h`_c² − 1 / `h`_a²) × `h`_b`h`_c / 2; cos(`β`) = (1 / `h`_a² + 1 / `h`_c² − 1 / `h`_b²) × `h`_a`h`_c / 2; cos(`γ`) = (1 / `h`_a² + 1 / `h`_b² − 1 / `h`_c²) × `h`_a`h`_b / 2	kulma korkeuksista
`s` = (`a` + `b` + `c`) / 2; `A` = √(`s` × (`s` − `a`) × (`s` − `b`) × (`s` − `c`))	pinta-ala sivujen pituuksista (Heronin kaava; `s` on piirin puolikas)
`A` = `ah`_a / 2 = `bh`_b / 2 = `ch`_c / 2	pinta-ala, sivun pituus ja sitä vastaava korkeus
`A` = sin(`α`) × `bc` / 2 = sin(`β`) × `ac` / 2 = sin(`γ`) × `ab` / 2	pinta-ala, kahden sivun pituus ja niiden välinen kulma
`R` = `ab` / `h`_c / 2 = `ac` / `h`_b / 2 = `bc` / `h`_a / 2	ulkoympyrän säde, korkeus ja kahden sivun pituus
2`R` = `a` / sin(`α`) = `b` / sin(`β`) = `c` / sin(`γ`)	ulkoympyrän säde kaksinkertaisena, sivun pituus ja sen vastainen kulma (sinilause)
`R` = `abc` / (4`A`)	ulkoympyrän säde, (kolmion) pinta-ala ja sivujen pituudet
`r` = 2`A` / (`a` + `b` + `c`)	sisäympyrän säde, (kolmion) pinta-ala ja sivujen pituudet

Erikoistapauksia

Jos α = 30°:

a² = b² + c² − √(3)bc
h_a = bc / a / 2
h_b = c / 2
h_c = b / 2
A = bc / 4
R = a
r = bc / (a + b + c) / 2

Jos α = 60°: a² = b² + c² − bc

Jos α = 90°: katso suorakulmainen kolmio

Jos α = 2β: a / b = cos(β) × 2

Jos a = 2b:

c² / b² = 5 − cos(γ) × 4
h_b = 2h_a = 2b × sin(γ)
A = b² × sin(γ)

Sivujen pituuksien ja kulmien ratkaiseminen

Yleisen kolmion sivujen pituuksien ja kulmien ratkaiseminen, jos vain osa niistä tunnetaan:

jos tunnetaan kaikki sivut:
1. lasketaan jokin kulma kosinilauseella
2. lasketaan jompikumpi toinen kulma sinilauseella tai kosinilauseella
3. lasketaan viimeinen kulma kulmien summan kaavalla
jos tunnetaan kaksi sivua ja niiden välinen kulma:
1. lasketaan tuntematon sivu kosinilauseella
2. lasketaan jompikumpi toinen kulma sinilauseella tai kosinilauseella
3. lasketaan viimeinen kulma kulmien summan kaavalla
jos tunnetaan kaksi sivua ja kulma, joka ei ole niiden välissä (esimerkkejä alla):
1. lasketaan toisen tunnetun sivun vastainen kulma sinilauseella
2. lasketaan viimeinen tuntematon kulma kulmien summan kaavalla
3. lasketaan viimeinen tuntematon sivu sinilauseella tai kosinilauseella
4. jos tunnettu kulma on terävä ja sen vastakkainen sivu on lyhyempi kuin viereinen sivu, kolmioon on olemassa toinenkin ratkaisu: vähennetään 180 asteesta kohdassa 1 saatu kulma, käytetään sitä kyseisen kulman sijasta ja jatketaan laskutoimitusta muuten samoin
jos tunnetaan yksi sivu ja kaksi kulmaa:
1. lasketaan tuntematon kulma kulmien summan kaavalla
2. lasketaan jompikumpi tuntematon sivu sinilauseella
3. lasketaan viimeinen sivu sinilauseella tai kosinilauseella

Esimerkki 1: ratkaistaan kolmio, josta tunnetaan a = 244, c = 418 ja γ = 100° (kuvan tylppäkulmainen kolmio):

ratkaisuja on yksi, koska γ ≥ 90°
sinilauseella: α = arcsin(a / c × sin(γ)) ≈ 35.1°
kulmien summan kaavalla: β = 180° − α − γ ≈ 44.9°
sinilauseella: b = c / sin(γ) × sin(β) ≈ 300

Esimerkki 2: ratkaistaan kolmio, josta tunnetaan a = 244, b = 300 ja β = 45.0° (kuvan tylppäkulmainen kolmio):

ratkaisuja on yksi, koska b ≥ a
sinilauseella: α = arcsin(a / b × sin(β)) ≈ 35.1°
kulmien summan kaavalla: γ = 180° − α − β ≈ 99.9°
sinilauseella: c = b / sin(β) × sin(γ) ≈ 418

Esimerkki 3: ratkaistaan kolmio, josta tunnetaan a = 244, b = 300 ja α = 35.0°:

ratkaisuja on kaksi, koska α < 90° ja a < b
ensimmäinen ratkaisu (kuvan tylppäkulmainen kolmio):
1. sinilauseella: β = arcsin(b / a × sin(α)) ≈ 44.8°
2. kulmien summan kaavalla: γ = 180° − α − β ≈ 100°
3. sinilauseella: c = a / sin(α) × sin(γ) ≈ 419
toinen ratkaisu:
1. muunnetaan ensimmäisen ratkaisun ensimmäisen vaiheen tulos: β = 180° − β ≈ 135°
2. jatketaan kuten ensimmäisessä ratkaisussa: γ ≈ 10.0° ja c ≈ 73.2

Katso myös

tekemäni Python-ohjelma, joka laskee kolmion mitat osittaisten tietojen perusteella

Muut lähteet

MAOL-taulukkokirja, Otava, 2000 – geometria ja trigonometria